آشنایی با نانومحاسبات دسته: مقالات و کتاب ها 06/26/1399 آشنایی با نانومحاسبات1- شبیه‌سازی حرکت سقوط آزادآنچه از این بخش می‌آموزیم:- تقریب عددی مرتبه اول مشتق.- آشنایی با گام زمانی.- آشنایی با حلقه‌های برنامه‌نویسی و اهمیت آنها.می‌خواهیم یک حرکت سقوط آزاد را مدل و شبیه‌سازی کنیم (این مسئله یک مسئلة اتمی مولکولی نیست).تمام روابط ریاضی آن موجود است، ولی ما نمی‌خواهیم با دانستن جواب ــ یعنی فرمول‌های حرکت سقوط آزاد ــ به حل مسئله بپردازیم. (هر چند آن‌هم در جای خود آموزنده است).در شبیه‌سازی فرض می‌شود که ما فقط قوانین اصلی را داریم (اینجا قانون دوم نیوتن). همین‌طور اثر دنیای خارج از یک سیستم (گلوله در حال سقوط) را بر آن به صورت نیروهای معروف (اینجا نیروی جاذبة زمین) می‌شناسیم. بعد به حل عددی معادلة نیوتن در کامپیوتر می‌پردازیم (بعداً بیشتر در این باره صحبت خواهیم کرد).شاید سؤال شود اگر ما جواب را داریم پس دنبال چه چیزی هستیم؟ باید گفت که ما با طرح مسائلی که از قبل حل شده‌اند، توان عملی خود را در پیش‌گویی‌های از قبل مشخص محک می‌زنیم تا در آینده به حل مسائل حل‌نشده بپردازیم.با شروع از یک سری اعداد و ارقام اولیه ــ که به شرایط اولیة مسئله وابسته‌اند ــ آیندة سیستم را به کمک حل‌های عددی معادلة نیوتن پیش‌بینی کنیم و اگر موضوع یک ذرة مادی است مسیر آن را ردگیری نماییم و تمام خصوصیات مورد نیاز را محاسبه کنیم.در مرحلة بعدی به کمک قانون دوم که مناسب حرکت‌های معمولی است، به ردیابی ذره به کمک کدهای کامپیوتری بپردازیم. این روش ردگیری را «دینامیک مولکولی» می‌گویند.همچنین روش عملیاتی یا پیاده کردن این مدل‌ها را به صورت ریاضی، «آنالیز عددی» یا «حل عددی کامپیوتری» می‌گویند.برای آنکه با نمونه‌ای از «حل عددی» آشنا شوید، به حل عددی معادلات (یا مشتقات) ساده و در تقریب اول به کمک تعریف مشتق تابع (مشتق یک تابع در واقع شیب یک تابع در نقطة دلخواه است) می‌پردازیم. مثلاً اگر تابع Y(t را در دستگاه y- t رسم کنیم، شیب خط مماس در نقطه1 t برابر است. توجه کنید.در یک شبیه‌سازی از t=0 در رابطة 1 شروع می‌کنیم. بعد با در نظر گرفتن مقداری برای که «گام زمانی» نامیده می‌شود (انتخاب مقدار گام زمانی بسیار کلیدی است) به مقدار x در زمان‌های بعدی می‌رسیم. سرعت ذره در گام بعدی را هم با کمک رابطه‌ای مشابه با حل عددی معادلة دوم به دست می‌آوریم:برای یک حرکت شتاب‌دار ثابت مقدار a در رابطة اخیر مشخص است.رابطه‌های 1و2 حل عددی معادلات مذکور هستند (که به روش اویلر معروف است). بعداً به‌تفصیل به روش‌های بادقتِ بیشتر باز خواهیم گشت.در مثال سقوط آزاد، به جای a عدد 9/8- (شتاب گرانش) را می‌گذاریم و چون حرکت در راستای قائم است از y به جای x استفاده می‌کنیم:بهتر است این معادلات را برای راحتی کار به صورت زیر بازنویسی کنیم:اندیس i نشان‌دهندة تعداد گام‌هاست. رابطة 4 ساده‌ترین نوع از الگوریتم‌های حل قانون دوم نیوتن است.شرایط اولیه سقوط ــ سرعت و محل اولیه ــ را می‌نویسیم:در جدول زیر (که تنها چند مقدار اول از نتایج محاسبات آمده است) با توجه به رابطه 4 برای محل ذرات و انتخاب گام‌های زمانی 01/ 0 و 0/05، تعدادی از yها تولید شده‌اند. به عبارت دیگر تابع Y(t به صورت گسسته- یعنی یکسری عدد- پیدا می‌شود.جدول 1. چند مقدار از نتایج محاسبات با توجه به دو معادله قبلاین اعداد محل ذره را در لحظات مختلف نشان می‌دهند.اکنون می‌توان تابع گسسته محاسبه شده با گام 0/005 را با جواب واقعی ــ که یک سهمی است و به صورت خط چین نشان داده شده است. ــ مقایسه کرد.شکل 1: مقایسه جواب به دست آمده از حل عددی و جواب واقعی برای مساله سقوط آزاددکمهای روی فرم استاندارد ویژوال بیسیک طراحی کنید و سپس داخل آن برنامه زیر را بنویسید:(در زبان‌های برنامه‌نویسی برای انجام عملیات تکراری از ساختار حلقه استفاده می‌شود).پس از اجرای برنامه، دو فایل یکی حاوی مکان ذرات (y.dat) و دیگری سرعت آنها (v.dat) در مسیر مد نظر ساخته می‌شود. اگر این برنامه را برای گام 0/01 نیز اجرا کنیم، جواب‌های y را نسبت به شماره گام زمانی مطابق جدول بالا تعیین می‌شوند. کم کردن گام زمانی از 0/05 به 0/01نتیجه را هر چند بهبود بخشیده است (اعداد ستون‌های مربوط به یک گام زمانی را باهم مقایسه کنید)، ولی تحول سیستم آرام آرام صورت می‌گیرد و پیشروی الگوریتم بسیار کند می‌شود، یعنی گلوله برای رسیدن به زمین تعداد گام‌های بیشتری نیاز دارد. اینجاست که اهمیت گام زمانی از دو نظر سرعت و دقت در شبیه‌سازی‌ها مشخص می‌شود. همین‌طور دقت کنیم که زمان حل مساله توسط کامپیوتر وابسته به تعداد گام‌های زمانی است، بنابراین الگوریتمی مفید است که تعداد گام‌های زمانیش در عین دقیق بودن نتایج مناسب باشد و سر به فلک نکشد!1-1- تمرین1- نرم‌افزار ویژوال‌بیسیک را نصب و کمی با آن کار کنید. (با یک ساعت مطالعه، به هدف این بخش خواهید رسید).2- نتایج مندرج در جدول و نمودار بالا را به دست آورید.3- با توجه به معادلات 1و2 علت اهمیت مقدار گام زمانی را توضیح دهید.4- نموداری برای گام زمانی 0/005 ترسیم و با جواب واقعی مقایسه کنید.5- نموداری برای سرعت محاسبه شده، ترسیم و با نمودار جواب واقعی که یک خط است در یک صفحه ترسیم کنید. در مورد سرعت خواهیم دید که خطا صفر است و با انتخاب هر گام زمانی جوابمان دقیق خواهد بود. چرا؟6- آیا می‌توان گفت گام زمانی 0/0005 به جواب واقعی نزدیک‌تر است؟ چرا؟7- الگوریتم‌های دیگری نیز برای حل معادلات و مثل اویلر ـ ریچاردسون، ورله و رانگ ـ کوتا وجود دارند.2- اگر نیوتن ماشین حساب داشت، علم ریاضی 200 سال جلوتر بود!2-1- چرا به محاسبه نیازمندیم؟علاقة مردم به محاسبات طولانی و خسته‌کننده، از دیرباز وجود داشته است. اما این محاسبات که اغلب با شیوه‌های دستی صورت می‌گرفت، به محض برخورد به اولین پیچیدگی‌ها به بن‌بست می‌خورد و بی‌حاصل می‌ماند. با وجود این، کسانی هم بودند که از همین پیچدگی‌ها لذت می‌بردند و برای رفع آنها کوشش می‌کردند.در نیمه دومِ قرن بیستم، کامپیوتر (ماشین حسابگر) اختراع شد و محاسبات پیچیده و بسیار مفصل به اموری عادی و روزمره بدل گردیدند.در این مقاله نمی‌خواهیم تاریخچة محاسبات را بازگو کنیم، بلکه قصد ما تأکید بر این نکته است که دنیای امروز، پیشرفتِ پرشتاب خود را به دقت، و بویژه دقت در محاسبات پیچیده و مفصل، مدیون است. هر کدام از ما در طول روز بارها و بارها، آگاه و ناخودآگاه، با خود محاسبه می‌کنیم:الان ساعت چند است؟ چقدر پول همراهمان است و با این پول چقدر می‌شود خرید کرد؟ اگر این کار را بکنیم، چه نتیجه‌ای خواهد داشت...محاسبات دیگری هم هستند که با تکیة صِرف به توان ذهنی نتیجه نمی‌دهند. انجام این‌قبیل محاسبات نیازمند مقداری سواد و کاغذ و قلم است. محاسبات پیچیده‌تر به ابزاری پیچیده‌تر نیاز دارند. احتمالاً هیچ‌کس نمی‌تواند فقط با استفاده از کاغذ و قلم صد عدد فیثاغورثی غیر یکسان تولید کند. 3، 4، 5 یک دسته از آنهاست، بقیه را شما بگویید!موضوع به اینجا ختم نمی‌شود؛ کل زندگی بشر تحت‌الشعاع محاسبات مختلف قرار گرفته است. کسی که می‌خواهد یک چهارپایه بسازد، باید لااقل جمع و تفریق بلد باشد. کسی هم که می‌خواهد هواپیمای جت بسازد، باید صدها معادله را حساب کند تا به نتیجة مطلوب برسد. خلاصه اینکه هر که طاووس خواهد، جور هندِستان کشد!امروزه دانشمندان با داشتن اطلاعات آزمایشگاهی و تحلیل محاسباتی آنها، در پی حل مسائلی بسیار مهم و در عین حال عادی هستند. مثلاً اینکه چگونه مغز تصاویر ارسالی از عصب بینایی را تحلیل می‌کند؟ چطور این تصاویر ثبت می‌شود به طوری که اگر یک بار دیگر آن را ببینیم یادمان می‌آید که آن را قبلاً دیده‌ایم؟ (جالب است بدانید که «سازمان فضانوردی آمریکا (NASA)» احتمال پاسخگویی و به کارگیری این تکنیک را سال‌های 2030 میلادی به بعد اعلام کرده است.حل چنین مسائلی در علوم، از طرفی نیازمند استفاده از فنون محاسباتی پیشرفته و از سوی دیگر همکاریِ تنگاتنگ دانشمندان رشته‌های مختلف است. به همین علت، انقلاب‌های علمی آینده در بستر فعالیت‌ها و کشفیات بین‌رشته‌ای در علوم اتفاق می‌افتند. نانوفناوری از جمله مهم‌ترین و اصلی‌ترین انقلاب‌های علمی و فناورانة آینده است و در این میان نانوفناوری محاسباتی در پیشبرد و اثبات نظریه‌ها و فرضیه‌های مربوط به علوم مقیاس نانو (یعنی حدود میلیونیم متر) نقشی بی‌بدیل بازی می‌کند.در اینجا سعی می‌کنیم گوشه‌ای از مقدمات دستیابی به محاسبات پیشرفته را بازگو کنیم.2-2- درباره شبیهسازیابتدا مقدماتی از محاسبات کامپیوتریِ اتمی ـ مولکولی یا مشخصا «شبیه‌سازی دینامیک مولکولی» را که سرآغاز محاسبات پیشرفته‌تر است، ذکر می‌کنیم. مدل‌سازی دینامیک مولکولی در مقابل روش «مونت کارلو» قرار دارد. در روش دینامیک مولکولی، سعی می‌شود معادلة قانون دوم نیوتن برای پیدا کردن مسیر حرکت ذره نسبت به زمان واقعی به دست آید، ولی در روش دوم سیستم مورد بررسی، همواره در حال تعادل فرض می‌شود و زمان واقعی مشخص نیست. در ذیل تمام مباحث، الگوریتم‌وار آمده است. در هر یک از انواع شبیه‌سازی، چهار موضوع کلی را باید در نظر بگیریم:- باید بعد از انتخاب موضوع، اطلاعاتی از قوانین فیزیکی حاکم بر مسئله داشت؛ به‌خصوص قوانین بنیادی فیزیک، شیمی و زیست‌شناسی که سعی می‌شود همراه روش‌های محاسباتی تا جایی که لازم است به آنها بپردازیم. از جمله، شناخت انواع نیروهای موجود در طبیعت و به تبع آنها انرژی‌های پتانسیل موجود در طبیعت.- باید روش‌های حل عددی معادلات ریاضی حاکم بر پدیده‌های فیزیکی را دانست. امروزه روش‌های جدید روز‌به‌روز در حال گسترش‌اند. این روش‌ها انواع و اقسامی دارند که با توجه به مسئلة مورد نظر و میزان دقتی که مد نظر است متفاوتند.- باید با یکی از زبان‌های برنامه‌نویسی متناسب با مسئله مورد نظر آشنا بود؛ از QBASIC گرفته تا ++C و غیره. برای کار ما که تنها دنبال یادگیری هستیم حتی QBASIC هم کافی است، ولی ما در محیط VISUALBASIC برنامه‌هایمان را کامپایل می‌کنیم. نکتة قابل توجه: امروزه نمایشی کردن نتایج محاسبات و شبیه‌سازی‌ها که به آن VISUALIZATION می‌گویند، امر مهمی است. در واقع، تهیة انیمیشن از کار بسیار راه‌گشا و مورد اقبال مردم است. به این منظور، ما انیمیشن‌های دوبعدی را در محیط یادشده برای کارهای خود برمی‌گزینیم.- آشنایی با تحلیل داده‌ها و خطاهای محاسباتی. این موضوع در سطوح حرفه‌ای شبیه‌سازی اهمیت فراوانی دارد.2-3- آنچه یک متخصص شبیه‌سازی انجام می‌دهد - یک پدیدة فیزیکی در طبیعت اتفاق افتاده است. رفتار اجزا و کل آن پدیده به‌دقت مورد مشاهده قرار می‌گیرد و ثبت و ضبط می‌شود. موادی (منظور مولکول‌هایی بزرگ یا کوچک) با اجزای مختلف، در حضور دیگر همنوعان یا انواع دیگر، چه رفتاری دارند؟- متخصص، یا برای این پدیده‌ها توجیه منطقی دارد یا ندارد. اگر داشته باشد، حتماً راه رسیدن به آن توجیه منطقی (که مبنای آن یک قانون فیزیکی است)، دارای مقبولیت نسبی است، وگرنه باید راه‌های مختلف را امتحان کرد.- با ارائة یک مدل ریاضی ساده، می‌توان هر دو امکان فوق را بررسی کرد. یعنی از یک طرف مهر تأیید بر یافته‌های ثبت‌شده زد و از طرف دیگر راه‌های جدید پیشنهاد کرد.اینکه چرا مدل باید پایة ریاضی داشته باشد، به آن علت است که ریاضیات منطق مطلق است و هیچ روند صحیح ریاضی به نتیجة غلط منجر نمی‌شود، مگر از ابتدا مدل با سهل‌انگاری طرح شده باشد.- روش‌های حل عددی که در کامپیوترها مورد استفاده قرار می‌گیرند نیز به کار می‌آیند.- یکی از روش‌های معمول شبیه‌سازی متناسب با مدل یا مسئله، کدنویسی می‌شود، یعنی نهایتاً فعالیت شبیه‌ساز به یک کد (برنامه) کامپیوتری تبدیل می‌شود.- و بالاخره شخص سعی خود را در تفسیر، مقایسه، نتیجه‌گیری و احیاناً تعمیم به کار خواهد گرفت. این تفسیر و نتیجه‌گیری بر اساس یک سری اصول مربوط به آمار و محاسبات صورت می‌گیرد.-شکل2: مدل‌سازی پلی است میان نظریه و آزمایش3- نیروها و پتانسیل‌های اتمی و بین مولکولیاز نظر فیزیکی نیروهای ــ پیوندها یا قیدهای ــ بین اتم‌ها و مولکول‌ها منشأ حیات و برپاکننده مواد هستند.آنچه از این بخش می‌آموزیم:- مفهوم نیرو و انرژی پتانسیل؛- آشنایی با انواع پیوندهای بین اتمی؛- آشنایی با نیرو و انرژی پتانسیل بین اتمی ساده؛- ارتباط ریاضی بین نیرو و انرژی پتانسیل.در دنیای پیرامون آنچه دارای حیات است، یا موجودیت دارد، به نوعی از ذراتی (مولکول‌های ریز و درشت) به هم مقید، چه به صورت موضعی و چه به‌صورت جامع، ساخته شده‌اند. این سخن ریچارد فاینمن (پدر فناوری نانو) بسیار جالب و بدیهی به نظر می‌رسد. «به لحاظ نظری، هر ساختار اتمیِ مولکولی که قوانین بنیادین حاکم بر فیزیک و شیمی را نقض نکتد مجاز است، به شرط آن که پایدار باشد».3-1- مروری بر چند مفهومبرای ورود به بحث، لازم است بعضی از مفاهیم پُرکاربرد را یادآوری کنیم:نیرو: نیروها تمام اثرات محیط اطراف، شامل اتم‌ها و مولکول‌های اطراف یک جسم (سیستم) بر آن جسم است که بر حرکت و رفتار کلی آن اثر می‌گذارد. در فیزیک و شیمی تا کنون چند نیروی مهم شناخته شده‌اند که باعث گرد هم آمدن مولکول‌ها و اتم‌ها و تشکیل ساختارهای نانومتری و بزرگ‌تر می‌شوند. شما با برخی از این نیروها آشنا هستید.انرژی پتانسیل: همان‌طور که فنرِ فشرده شده دارای انرژی نهفتة پتانسیل کشسانی است و به محض رها شدن انرژی آزاد می‌کند، مجموعه‌ای از اتم‌ها یا مولکول‌ها هم در کنار یکدیگر دارای انرژی می‌شوند و برای آزاد شدن آن باید تمام پیوندهای به‌وجودآمده را پاره کرد. انرژی لازم برای از هم گسیختن پیوندها همان انرژی پتانسیل است.در شکل زیر انواع انرژی‌های ساده در پیوندها (یا نیروهای) بین اجزای یک مولکول بزرگ را مشاهده می‌کنید.شکل 3. یک سیستم واقعی، مانند یک مولکول پیچیده و طویل، دارای انواع و اقسام نیروها و پیوندهای بین اتمی.یک بررسی جامع شامل در نظر گرفتن تمام این برهم‌کنش‌هاست. ولی هنوز قدرت محاسباتی بشر آن‌قدر نیست که رفتار یک مولکول را به طور کامل شبیه‌سازی و پیش‌بینی کند. این به آن معناست که برای یک مولکول خاص، تمام نیروهای بین اتمی شناخته و شبیه‌سازی نشده‌اند تا مطمئن باشیم که محاسباتمان همان نتیجه‌ای را خواهد داد که در طبیعت از آن مولکول می‌بینیم. بلکه ما تنها تقریب‌هایی از برخی نیروها را به حساب می‌آوریم. شاید برایتان عجیب باشد که تنها مسئلة دقیقاً حل‌شده در فیزیک و شیمی، پیش‌بینی رفتار یک تک اتم هیدروژن با یک الکترون تنها است. مولکول‌های چند اتمی با تعداد الکترون‌های بیشتر، با تقریب‌هایی از پتانسیل‌های بین اتمی که «پتانسیل‌های تجربی» نامیده می‌شوند، قابل حل هستند. همچنین این‌طور نیست که پتانسیل یا نیروی بین اتمی، جوابگوی تمام خصوصیات فیزیکی و شیمیایی یک مولکول باشد.3-2- انواع پیوندهابه طور ساده، گرد هم آمدن اتم‌ها و تشکیل ساختارهای مولکولی و بلوری خاص به چند نوع پیوند بین اتمی زیر تقسیم می‌شوند:- پیوند واندروالسی: از القای میدان الکتریکی از دوقطبی‌های لحظه‌ای یک اتم به اتم دیگر ناشی می‌شود و به «نیروهای واندروالسی» معروف است. در فواصل دور (بر حسب نانومتر) این نیروها جاذبه و در فواصل نزدیک دافعه‌اند.- پیوند یونی: در آن با آزاد شدن یک الکترون از یک اتم (مثل سدیم) و ملحق شدن آن به اتم دیگر (مثل کلر) یون‌های غیر هم‌نوع تشکیل می‌شوند. این یون‌ها یکدیگر را مطابق با روابط به‌دست‌آمده از قانون کولن جذب می‌کنند. نیروی کولنی یک نیروی بلندبُرد است، بنابراین پیوند یونی طول پیوند بلندی دارد.- پیوند کوالانسی: از به اشتراک گذاشتن الکترون تراز آخر اتم‌ها با یکدیگر تشکیل می‌شود. این پیوند غیر الکترواستاتیکی و معمولاً جهت‌دار است. یعنی وقتی دو اتم می‌خواهند الکترون به اشتراک بگذارند، به خاطر ساختار فضایی جسم از یک جهت خاص به هم نزدیک می‌شوند و جفت الکترون پیوندی در ناحیة بین آن دو و در همان جهت متمرکز می‌شود. چون تعداد اتم‌های شرکت‌کننده در یک جهت ممکن است بیشتر باشد، پس تعداد پیوندها نیز در یک جهت بیشتر از سایر جهات می‌شود. (برای کسب اطلاعات بیشتر باید به ساختار شبکه‌های جامدات در فیزیک حالت جامد یا شیمی عمومی ــ در کتابی مانند «شیمی عمومی» نوشتة مورتیمر مراجعه کنید).- پیوند فلزی: توجه کنید که اتم‌های فلزی با یکدیگر پیوند به معنای گفته‌شده در بندهای قبل ندارند، بلکه در این قبیل پیوندها الکترون‌های آزادِ تراز آخر در سرتاسر جسم فلزی در حال حرکتند و یون‌های مثبت سدهایی (محدود) برای حرکت آنها به طور تناوبی ایجاد می‌کنند. آزادی الکترون‌ها و در قید یون‌های مربوطه نبودنشان ــ که به نوعی به اشتراک گذاشتن الکترون‌ها با هم است ــ فلز را به وجود می‌آورد.- پیوند هیدروژنی: این پیوند به خاطر به هم خوردن تراکم الکترونی اطراف اتم‌های مولکول‌هایی است که شامل اتم هیدروژن هستند. در سیستم‌های زنده، مثل مولکولDNA و پروتئین‌ها، این نوع پیوند نقش اساسی دارد. توجه کنید که در تشکیل یک ساختار فیزیکی، احتمال حضور چند پیوند به طور یکجا وجود دارد.3-3- برخی نیروهای سادهدر کتاب‌های دبیرستان با نیروی فنر (رابطة 7) و برهم‌کنش‌های دیگری (مثل برهم‌کنش کولنی در رابطة 8) آشنا شده‌اید:(7) (8) برای هرکدام از این دو نیرو، یک انرژی پتانسیل وجود دارد که رابطه‌اش را در مقابل هر نیرو آورده‌ایم.علاوه بر این، انرژی پتانسیل «لنارد ـ جونز» ناشی از نیروی «واندروالسی» نیز برای شبیه‌سازی‌های مقدماتی مناسب است.(9) این پتانسیل با محاسبة برهم‌کنش دو قطبی‌های لحظه‌ای و در نظر گرفتن اصول اولیة مکانیک کوانتومی به طور نیمه‌تجربی ــ یعنی با کمک گرفتن از داده‌های تجربی ــ به دست می‌آید. (برای اطلاعات بیشتر به کتاب «فیزیک حالت جامد» نوشتة کیتل مراجعه کنید).در مولکولی شامل چند پیوند فنری، انرژی کل برای تمام پیوندها به صورت نیروهای فنری، و همین‌طور برهم‌کنش‌های غیر پیوندی برای تمام جفت‌بارهای الکتریکی، به صورت نیروهای کولنی و نیروهای واندروالسی، جمع زده می‌شود و در نهایت انرژی کل به صورت زیر محاسبه می‌گردد:(10) علامت Σ برای جمع اول به کلیة پیوندهای فنری مولکول و دو جمع بعدی روی تمام جفت نیروهای بین اتم‌هایi,j به کار رفته است. ما فقط به این سه نوع انرژی اشاره خواهیم کرد.در بسیاری از موارد، پایدار ماندن یک مولکول، به واسطة همین نیروهای سادة بین اتمی ممکن می‌شوند. برای شبیه‌سازی‌های چنین نیروهایی، باید تسلط خود را در برنامه‌نویسی بالا ببریم. نکتة قابل ذکر آن است که ما تنها با دنیای ساده شده‌ای از نیروها و رفتارهای مولکولی سروکار داریم و در نظر گرفتن تمام برهم‌کنش‌های ممکن در یک سامانة واقعی فعلاً (و شاید هرگز!) امکان‌پذیر نیست. جدول زیر تمام پارامترهای بالا را معرفی می‌کند:به طور معمول، پتانسیل با روش‌های مختلفی در فیزیک و شیمی ساخته می‌شود، سپس با مشتق‌گیری می‌توان نیروهای مربوطه را پیدا کرد. رابطة ریاضی استخراج نیرو از انرژی پتانسیل در حالت یک‌بُعدی به صورت زیر نوشته می‌شود:(11) در حالت سه‌بُعدی رابطة بالا به صورت زیر درمی‌آید:(12) در رابطه اخیر به طور قراردادی برای سهولت کار از «نماد دل» که به صورت زیر تعریف می‌شود، استفاده شده است:(13) 3-4- مثالمیخواهیم نیروی فنر (نیروی هوک) یک‌بُعدی را به دست آوریم. برای این کار از انرژی پتانسیل فنری برحسب x مشتق می‌گیریم:(14) جالب است بدانید که امروزه محققان بسیاری به دنبال ساختن پتانسیل‌های بین اتمی برای سیستم‌های مختلف ــ به‌ویژه نانوسیستم‌ها (سیستم‌هایی که حداقل یک بعد نانومتری داشته باشند) ــ هستند.پس از مشخص شدن نیروهای بین اتمی در یک شبیه‌سازی، نوبت حل عددی معادلة نیوتن می‌شود. شما قبلاً در مسئلة سقوط آزاد با یک نمونه از حل عددی آشنا شدید ، با این حال روند کلی چنین است:1- نیروی وارد بر اتم kام را در معادلة نیوتن می‌گذاریم:(15) 2- طرف راست معادلة بالا همان نیروهایی هستند که به کمک روش‌های تجربی یا نیمه‌تجربی به دست آمده‌اند. ولی طرف چپ که شامل مشتقات مراتب بالا از محل ذرة k ام ( ) هستند، باید با یکی از روش‌های عددی حل شوند. مثلا در روش اویلر داشتیم:(16) رابطة بالا در حالت سه‌بُعدی، برای ذره‌ای که در فضا حرکت می‌کند، نوشته شده است.3- در هرگام زمانی، محل ذرات و سرعت ذرات به کمک نیروهای وارد بر ذرات به دست می‌آیند.4- با داشتن مکان و سرعت ذرات در تمام گام‌های زمانی به کمک ترمودینامیک و سایر مباحث قادریم خصوصیات سامانة مورد بررسی از جمله دمای ذوب، سختی، رسانش الکتریکی و... را پیش‌بینی کنیم. هر یک از این کمیت‌ها باید به طور صریح فرمولی مرتبط با سرعت و محل ذرات داشته باشند.